Irracionális szám

Már a másodfoku egyenletek vizsgálata mutatja, hogy nem minden egyes esetben léteznek olyan racionális, azaz egész vagy törtszámok, melyek azokat kielégítenék. Bizonyos esetekben azonban, mint amilyen p. az x2-2 = 0 egyenleté, képesek vagyunk minden tetszés szerint kicsinynek választott pozitiv d értéknek megfelelőleg x-nek oly racionális értéket tulajdonítani, amely mellett x²-2 abszlut értéke kisebb d-nál. Az ilyen egyenletekről azt mondjuk, hogy racionális számok segítségével megközelítőleg megoldhatók. Hogyha az egyenleteknek az ilyen megközelítő megoldásait szabatosan akarjuk jellemezni, vagy pedig bizonyos más problemákat megoldani, mint amilyen p. a geometriában fellépő ama követelménynek kielégítése, hogy valamely tetszés szerint felvett hosszegység mellett minden egyenesvonalu közt egy-egy számértékkel (mérőszámmal) jellemezzünk, szükségessé válik a szám fogalmának bővítése.

Már a fennebbi x²-2 = 0 egyenletnek vizsgálata némi utmutatást nyujt arra nézve, hogy miképen kellene a szám fogalmáat a kitüzött célnak megfelelőleg általánosítanunk. Hogyha az x²-2 kifejezésbe x helyébe valamely pozitiv racionális számot helyettesítünk, a helyettesítés eredménye majd pozitiv, majd negativ szám lesz. Hogyha valamely pozitiv r szám behelyettesítése pozitiv helyettesítési eredményre vezet, akkor minden r-nél nagyobb szám is pozitiv eredményre fog vezetni; hogyha pedig valamely pozitiv r" szám helyettesítése negativ helyettesítési eredményre vezet, akkor minden r"-nél kisebb pozitiv szám behelyettesítése is negativ helyettesítési eredményre vezet. A részletesebb vizsgálat azt is mutatja, hogy ama pozitiv számok közt, melyeknek behelyettesítése pozitiv helyettesítési eredményre vezet, nem jelölhetünk ki egy legkisebbet, amazokközt pedig, melyeknek behelyettesítése negativ eredményre vezet, nincsen egy legnagyobb. Minthogy azonban oly racionális szám nem létezik, mely az x²-2 = 0 egyenletet pontosan elégítené ki, mindezekből világos, hogy tekintettel erre az egyenletre, az összes racionális számokat két osztályba sorozhatjuk: Az egyikbe sorozzuk majd az összes pozitiv racionális számokat, melyeknek behelyettesítése x²-2-be pozitiv helyettesítési eredményre vezet, a másikba pedig a többi racionális számokat. Ennek az osztályozásnak még azt a jellemző tulajdonságát emeljük ki, hogy az összes az egyik osztályba sorozott számok nagyobbak minden egyes a második osztályba sorozott számnál. Hogy a racionális számoknak ilyen két osztályba való sorozása valóban alkalmas mdot foglal magában egy szám értelmezésére.

Forrás: Pallas Nagylexikon